Его называли «мелиоративным Калитой». Подобно тому, как Иван Калита «собирал» Русь, А.Н. Костяков объединил и систематизировал отечественный и мировой опыт мелиорации. Он творчески переработал и создал новую мелиоративную науку, главные положения которой изложены в фундаментальном труде ученого «Основы мелиорации».
Алексей Николаевич Костяков разработал метод расчета режима орошения сельскохозяйственных культур на основе водного баланса, методы расчета оросительных и осушительных систем, дренажа и промывок, систему мер по борьбе с засолением и заболачиванием орошаемых земель, теорию самотечного орошения по бороздам и полосам, ввел понятие гидромодуля.
Всего А.Н. Костяковым опубликовано более 150 научных работ.
Параллельно с большой творческой научной деятельностью профессор А.Н. Костяков вел педагогическую работу на кафедре сельскохозяйственной мелиорации Московского сельскохозяйственного института (ныне РГАУ-МСХА имени К.А. Тимирязева), организованной им в 1919 году. Подготовил тысячи инженеров-гидромелиораторов, десятки кандидатов наук.
Под руководством А.Н. Костякова была построена первая в стране крупная мелиоративная лаборатория, на базе которой в 1923 году был основан Государственный НИИ сельскохозяйственных мелиораций (ныне ВНИИГиМ). Ученый до конца жизни был его научным руководителем.
Имя ученого носит Институт мелиорации, водного хозяйства и строительства РГАУ-МСХА, а также Всероссийский научно-исследовательский институт гидротехники и мелиорации.
Перед 28-м учебным корпусом университета установлен бюст А.Н. Костякова. Именем выдающегося исследования названа одна из улиц Тимирязевского района Москвы. Учреждена Золотая медаль имени А.Н. Костякова, которая с 1972 года вручается ученым за выдающиеся успехи в гидротехнике и мелиорации.